Методическое руководство по циклу задач "Черный
ящик".
Руководство позволит преподавателю эффективнее использовать готовые задачи цикла.
Освоив этот уровень, он сможет модифицировать их, изменяя направленность и уровень
сложности.
Методическое руководство по циклу задач "Черный ящик". ....................................................................... 1
Пояснительная записка к циклу задач «Черные ящики». ........................................................................ 3
О дидактике цикла задач. ........................................................................................................................ 3
Концепция «черного ящика». ..................................................................................................................... 4
Психологические особенности задач цикла. .............................................................................................. 5
Место задач цикла в школьной программе по геометрии......................................................................... 5
................................................................................................................................................................... 6
Методические рекомендации по работе с циклом задач "Черный ящик". .......................... 6
Общие рекомендации к работе с прилагаемыми задачами. .................................................................. 6
Структура заданий. ................................................................................................................................... 7
Список задач с комментариями. .............................................................................................................. 7
SquareOrTwo.mkz ................................................................................................................ 7
1(1). Кто скрывается под видом квадрата? .................................................................... 7
Задание: .............................................................................................................................................. 7
Комментарий: ..................................................................................................................... 8
Triangles.mkz........................................................................................................................ 9
1(2). Чем "замечательны" эти точки? .............................................................................. 9
Задание: .............................................................................................................................................. 9
Комментарий: .................................................................................................................................. 10
right.mkz ............................................................................................................................. 10
2(1). Светофор для трех машин - 1. .............................................................................. 10
Задание: ............................................................................................................................................ 10
Комментарий: ...................................................................................................................................11
Ответ: ...............................................................................................................................................11
equal.mkz ............................................................................................................................ 12
2(2). Светофор для трех машин -2. ............................................................................... 12
Задание: ............................................................................................................................................ 12
Комментарий: .................................................................................................................................. 12
Ответ: .............................................................................................................................................. 12
square_is_s.mkz................................................................................................................. 13
2(3). Светофор для трех машин - 3. .............................................................................. 13
Задание: ............................................................................................................................................ 13
Комментарий: .................................................................................................................................. 13
Решение: ......................................................................................................................................... 14
dance1.mkz ......................................................................................................................... 14
3(1). Верните танцоров в свои группы! ........................................................................ 14
Задание: ............................................................................................................................................ 14
Комментарий: .................................................................................................................................. 15
dance2.mkz ........................................................................................................................ 15
3(2). Верните танцоров в свои группы! ........................................................................ 15
Задание: ............................................................................................................................................ 15
Комментарий: .................................................................................................................................. 16
............................................................................................................................................ 16
kapriz1.mkz ......................................................................................................................... 16
4(1). Капризный параллелограмм. ................................................................................. 16
Задание: ............................................................................................................................................ 16
Комментарий: .................................................................................................................................. 17
kapriz2.mkz ......................................................................................................................... 18
4(2). Капризные четырехугольники. .............................................................................. 18
Задание: ............................................................................................................................................ 18
Комментарий: .................................................................................................................................. 19
kapriz3.mkz ........................................................................................................................ 20
4(3). Капризные треугольники. ....................................................................................... 20
Задание: ............................................................................................................................................ 20
Комментарий: .................................................................................................................................. 20
Решение: .......................................................................................................................................... 21
Netsquare.mkz .................................................................................................................... 21
5(1).Клубок из проволоки. ............................................................................................. 21
Задание : ........................................................................................................................................... 21
Комментарий: .................................................................................................................................. 22
Решение: .......................................................................................................................................... 22
Catchpoint.mkz................................................................................................................... 23
6(1).Поймай точку. ............................................................................................................. 23
Задание: ............................................................................................................................................ 23
Комментарий: .................................................................................................................................. 24
Решение: .......................................................................................................................................... 24
catchpoint2.mkz ................................................................................................................. 25
6(2).Поймай точку. ............................................................................................................. 25
Задание: ............................................................................................................................................ 25
Комментарий: .................................................................................................................................. 25
Решение: .......................................................................................................................................... 26
greece.mkz .......................................................................................................................... 26
7(1). Греческий орнамент. ................................................................................................ 26
Задание: ............................................................................................................................................ 26
Комментарий: .................................................................................................................................. 27
Решение: .......................................................................................................................................... 27
Border.mkz .......................................................................................................................... 27
7(2). Собери бордюр! ....................................................................................................... 27
Задание: ............................................................................................................................................ 27
Комментарий: .................................................................................................................................. 28
Решение: .......................................................................................................................................... 28
sixty.mkz ............................................................................................................................. 29
8(1). Верный глаз - 1 ......................................................................................................... 29
Задание: ............................................................................................................................................ 29
Комментарий: .................................................................................................................................. 30
Решение: .......................................................................................................................................... 30
sixpar1.mkz ......................................................................................................................... 30
8(2). Верный глаз - 2 ......................................................................................................... 30
Задание: ............................................................................................................................................ 30
Комментарий: .................................................................................................................................. 31
Решение: .......................................................................................................................................... 31
sixpar3.mkz ......................................................................................................................... 32
8(3). Верный глаз - 3 ......................................................................................................... 32
Задание: ............................................................................................................................................ 32
Комментарий: .................................................................................................................................. 33
Решение: .......................................................................................................................................... 33
impose1.mkz ....................................................................................................................... 33
9(1). Задачи на совмещение треугольников. ............................................................... 33
Задание: ............................................................................................................................................ 33
Решение: .......................................................................................................................................... 34
impose2.mkz ....................................................................................................................... 35
9(2). Задачи на совмещение треугольников. ............................................................... 35
Задание: ............................................................................................................................................ 35
Решение: .......................................................................................................................................... 36
ornam1.mkz ........................................................................................................................ 36
10(1). Повтори орнамент! ................................................................................................ 36
Задание: ............................................................................................................................................ 36
Комментарий: .................................................................................................................................. 37
Решение: .......................................................................................................................................... 37
ornam2.mkz ........................................................................................................................ 38
10(2). Повтори орнамент! ................................................................................................ 38
Задание: ............................................................................................................................................ 38
Комментарий: .................................................................................................................................. 38
Решение: .......................................................................................................................................... 38
Пояснительная записка к циклу задач «Черные ящики».
О дидактике цикла задач.
Задачи цикла «Черные ящики» дидактически отличаются от остальных циклов. И по постановке, и по
методам решения эти задачи мало напоминают привычные в школе задачи.
Дидактически они примыкают к головоломкам, но компьютерная реализация позволяет резко
повысить гибкость, вариативность и контролируемость заданий. Возникает совершенно новый
класс задач, тем не менее легко вписывающийся в школьную программу.
Как и в головоломках, учащемуся предлагается незнакомая геометрическая конструкция,
характеризующаяся наличием изменяемых элементов (параметров). Как и в головоломках, основной
метод решения задачи - экспериментальный. Еще одна важная параллель - манипулятивный,
моторный характер работы учащегося на фоне концентрации внимания, прежде всего зрительного.
И наконец, сам тип решения; для головоломки решение - это, как правило, алгоритм, позволяющий
переводить ее целенаправленно из одного состояния в другое. Алгоритм этот может быть
оптимальным, неоптимальным, интуитивным и т.д.
Задача-головоломка:
Задача типа «черный ящик».
Не перегибая и не разгибая
проволоку, снимите с нее кольцо.
Двигая обе фигуры за вершины,
совместите их до совпадения.
. Как видим, внутреннее сходство задач так велико, что мы могли бы обозначить наши задачи как
«компьютерные планиметрические головоломки».
Но есть здесь и существенные дидактические отличия - в типе решения, и соответственно, в
возможных типах деятельности по получению решения.
Для работы с этими типами деятельности нам понадобится познакомиться с принципом «черного
ящика».
Концепция «черного ящика».
Задачи цикла «Черные ящики» называются по имени кибернетической концепции, рассматривающей
системы, имеющие вход, выход, и алгоритм функционирования.
Например, в нашем случае входом можно считать длины сторон треугольника, а выходом - его
площадь, или периметр и т.п.
площадь
48 см
2
Или: вход - положение вершин треугольника, выход - положение высот.
Это примеры «ящика», т.е. системы, но не «черного». «Черным ящиком» система называется, если
алгоритм функционирования неизвестен. Для наших примеров это может выглядеть так:
48 см
2
на входе - длины сторон треугольника, на выходе - некое число (или два).
на входе - три числа, на выходе - одно число, или знак отсутствия решения (для случая несовместных
длин сторон, хотя не дано, что это длины).
на входе - изображение треугольника, на выходе - изображение некоторых отрезков.
Иначе говоря, нам неизвестно, что за числа на выходе, или что за отрезки. Но мы можем менять
данные на входе, и следить, какие данные будут получаться на выходе. В некоторых случаях мы
можем что-то сказать о неизвестном алгоритме по результатам таких экспериментов. Иначе говоря,
получая информацию о состояниях входа и выхода, мы можем, обработав ее, получить информацию
об алгоритме «внутри ящика».
13 см
48 см
2
Если есть дополнительная информация, например, информация о классе, к которому принадлежит
неизвестный алгоритм, то задача упрощается.
Но главное - даже если сказать мы ничего не можем, мы можем попытаться найти решение
несложной задачи, поставленной для этой системы. Часто это можно сделать, опираясь на
интуитивные поисковые механизмы, на аналогии, на гипотезы и т.п. - пробуя много раз всякие
решения, пытаясь найти или почувствовать смысл связи входных данных и выходных.
Например, двигая вершины, догадаться, что получающиеся отрезки - именно высоты, и, основываясь
на этой гипотезе, решить задачу.
Таким образом, геометрическая конструкция рассматривается здесь как алгоритм, о котором что-то
может быть известно. Эта позиция для школьной геометрии не нова, так как очень важный класс
школьных задач - задачи на построение - как раз и являются задачами на работу с алгоритмами.
Задачи цикла «Черные ящики» также могут иметь в качестве решения алгоритм. Но для большинства
задач, он связан с элементарными геометрическими навыками, и допускает интуитивный уровень
реализации, не требующий точной формулировки алгоритма, или его явного построения.
Психологические особенности задач цикла.
Как и у головоломок, у задач цикла есть важное психологическое свойство - они занимательны.
Особенно это важно для двух категорий учащихся - для школьников до 7-8 класса, и для детей,
познавательные функции которых остались тесно связаны с моторикой и соответствующей
поисковой и игровой деятельностью.
При этом в «черный ящик» можно «класть», при некотором навыке, достаточно разнообразный
геометрический материал. Важно только, чтобы он оставался доступным для интуиции детей, хотя бы
и достаточно развитой.
Задачи этого класса по структуре близки к загадке. Классическая загадка построена, как ряд
аналогий с неизвестным уподобляемым. Таким образом, ее структура также близка к «черному
ящику». Педагогическое значение загадок хорошо известно.
Но при освоении нового языка, языка строгих логических конструкций (у нас это геометрия), как и
при освоении родного языка, роль когнитивных структур типа загадки резко возрастает.
Возрастает и роль игры как методики освоения новых понятий. Это хорошо известно методистам,
работающим в области преподавания иностранных языков. Игровые методики применяются там
отнюдь не только для младших школьников, но и для взрослых людей.
Наконец, эти задачи обладают свойством «самопроверяемости». Здесь они тоже близки к загадке.
Пока вы не угадали ответ, вы можете предлагать различные варианты с разной степенью
убедительности. Но при угадывании настоящего ответа сомнения отпадают - правильный выбор
очевиден.
Все эти свойства - свойства задач, опирающихся на естественные поисковые механизмы. Наиболее
глубоко такие механизмы пронизывают зрительный аппарат человека. Это даже не уровень
бессознательного, это уже физиологический уровень. Выделить линии в хаосе, среди линий выделить
прямые, предсказать и даже вычислить, куда попадет движущаяся точка - это умеют и животные!
Чувство красоты, связанное с симметрией и более глубокими законами гармонии, также присутствует
в интуиции, связанной со зрением.
Возможности динамической визуализации геометрических постоений дают возможность изучать
геометрические конструкции не только в статической точке параметров удачно выбранного чертежа,
или даже набора чертежей, но и в окрестностях этих точек, неявно визуализируя важнейшие в
математике понятия непрерывности, связности, устойчивости и т.д.
Значит, одна из главных забот методиста и учителя - так построить задания, чтобы они и развивали
естественные поисковые механизмы, и решали при этом поставленные педагогические задачи.
Место задач цикла в школьной программе по геометрии.
Задачи цикла можно использовать для следующих целей:
. Вовлечение в содержательную работу слабых учащихся.
. Формирование и развитие геометрической интуиции.
. Формирование интуитивной основы вводимого геометрического понятия.
. Формирование и развитие наглядного образа геометрического понятия.
. Уяснение связи геометрических понятий.
. Иллюстрации к алгоритмам решения геометрических задач.
. Формирование деятельности по решению задач на угадывание алгоритма.
. Формирование деятельности по решению задач на формулирование алгоритма.
. Формирование деятельности по решению задач на реконструкцию алгоритма.
. Проектная работа в геометрии.
Примерно по этой схеме мы подобрали примеры задач, относящихся к разным темам
школьного курса.
Хотя задачи, особенно первые задачи в парах, нельзя считать привязанными к близкой им
теме школьного курса (навыки, которые они развивают, важны во всех темах), приведем
примерное распределение задач по темам:
Название задания (две задачи)
Примерная тема
1. Кто скрывается под видом квадрата?
Понятия трапеции, параллелограмма.
2. Светофор для трех машин.
Острые и тупые углы, равнобедренный
треугольник, площадь треугольника.
3. Верните танцоров в свои группы!
Осевая и центральная симметрия,
сдвиг.
4. Капризный параллелограмм. Капризный
треугольник.
Параллельные, параллелограмм,
многоугольник, треугольник, высоты.
5. Расправь платок!
Многоугольник, выпуклая оболочка
многоугольника, площадь выпуклой
оболочки многоугольника.
6. Поймай точку!
Окружности.
7. Собери бордюр по образцу.
Центральная и осевая симметрия,
сдвиг, гомотетия, поворот.
8. Греческий орнамент.
Центральная и осевая симметрия,
сдвиг, гомотетия, поворот.
9. Верный глаз и геометрия.
Правильный треугольник,
параллельность, шестиугольник.
Центральная и осевая симметрия,
сдвиг, гомотетия, поворот.
10. Повтори орнамент
Центральная и осевая симметрия,
сдвиг, гомотетия, поворот.
Методические рекомендации по работе с циклом задач "Черный
ящик".
Общие рекомендации к работе с прилагаемыми задачами.
1. При работе с задачами цикла очень важно свободное перемещение учащегося как в
пространстве экрана, так и в пространстве истории работы. Первое обеспечивается
умением передвигать одиночные и составные объекты и их части, второе –
владением операциями “отмена” и “отмена отмены”.
2. Важно научиться фиксировать и сохранять удачные промежуточные результаты, и
использовать их в дальнейшей работе над задачей.
3. Этот тип задач легко допускает различные формы групповой работы, от простого
соревнования – кто первый справится, до сложных групповых проектных работ.
Структура заданий.
Каждое задание состоит из двух-трех задач, различающихся по уровню сложности.
Первая задача – вводная, вторая (и, возможно, третья) – более сложная.
Первые задачи могут использоваться, как правило, в 5-6 классах, а некоторые и еще
раньше.
Кроме того, эти задачи могут войти и в курс информатики.
Вторую задачу лучше решать после первой, хотя для старших классов возможно начинать
сразу с нее.
Задача состоит из модели, задания, и подсказок. Цель работы обычно формулируется
или в терминах деятельности, или в терминах требования к ее результату.
Мы рассмотрим несколько заданий, демонстрирующих основные варианты постановки
цели работы.
Список задач с комментариями.
SquareOrTwo.mkz
1(1). Кто скрывается под видом квадрата?
Задание:
Здесь также надо расставить фигуры по коробкам, определив их вид по изменениям
при перемещении движков.
В начале работы перед учащимся – три равные квадрата.
Правильный результат работы выглядит так:
Комментарий:
Это несложная задача. Она скорее вводит в технику работы с чертежами.
Навыки, поддерживаемые задачей – изменять форму фигур, перемещать фигуры в нужном
направлении, исправлять последствия неаккуратных или неверных действий.
В заданиях этого типа нужно в результате работы с моделью собрать информацию,
достаточную для принятия решения о классификации алгоритма. Задаются два или больше
классов, в которые и надо поместить изучаемый алгоритм.
Вариации задания: классы могут определяться с различной степенью подробности.
Например, минимальная степень подробности - о классах известно только то, что они
разные. То есть одинаковые алгоритмы нужно поместить в один класс, а разные алгоритмы -
в разные классы.
Сильные учащиеся могут самостоятельно приготовить такие задания, пользуясь образцом.
Triangles.mkz
1(2). Чем "замечательны" эти точки?
Задание:
На экране - три равносторонних треугольника с центром, который в разных треугольниках построен
по-разному – как точка пересечения высот, или биссектрис, или медиан. При сдвиге вершины
равенство всех трех сторон нарушается и точка обнаруживает свою геометрическую сущность, в
соответствии с которой треугольники и следует разложить в три «ящика».
На иллюстрациях изображены исходный и конечный моменты работы.
Конечный момент - когда все фигуры уже помещены в коробку (верно), и загорелась надпись
«фигуры на месте!».
Комментарий:
Это несложная задача. Один из путей решения – одинаково деформировать
треугольники, совместить их и воспользоваться утверждением о порядке следования
оснований высоты, медианы и биссектрисы. На иллюстрации ясно виден этот порядок, и при
таком решении можно даже обойтись без подсказки.
Решение:
Верная последовательность для равнобедренного треугольника— выше всех -
медианы, в середине - биссектрисы, ниже всех — высоты.
right.mkz
2(1). Светофор для трех машин - 1.
Задание:
На чертеже изображен момент получения подсказок. Ученик выбрал показ углов
треугольника, и геометрическую подсказку — описанную окружность, для которой в
граничном случае гипотенуза совпадает с ее диаметром.
стали видны треугольника).
Комментарий:
Исследуйте поведение светофора - как его цвет зависит от взаимного положения точек
A,B,C.
Полученный вывод проверяется тремя тестами — надо зажечь каждый цвет по требованию.
Здесь надо изучить поведение точек, построить наиболее правдоподобную гипотезу, и
пройти все три теста как результат работы.
Решение:
Красный цвет на светофоре сменяет зеленый, если треугольник АВС - остроугольный.
В промежуточном состоянии (угол близок к прямому) горит желтый цвет.
Здесь предложена удобная форма фиксации результата – три теста, точнее, один тест из
трех заданий. Но задание несложно, и прохождение теста доступно всем школьникам с 5-6
класса.
equal.mkz
2(2). Светофор для трех машин -2.
Задание:
На чертеже изображен момент получения подсказок. Ученик выбрал показ сторон
треугольника, и геометрическую подсказку — серединный перпендикуляр, для которого и
выполняется искомое условие — равнобедренность треугольника. Равносторонность также
хорошо видна с этой подсказкой — все вершины нужно поместить на соответствующие
перпендикуляры. Впрочем, поместить их на несоответствующие перпендикуляры не
получится...
Комментарий:
Исследуйте поведение светофора - как его цвет зависит от взаимного положения точек
A,B,C.
Полученный вывод проверяется тремя тестами — надо зажечь каждый цвет по требованию.
Здесь надо изучить поведение точек, построить наиболее правдоподобную гипотезу, и
пройти все три теста как результат работы.
Ответ:
Светофор красный, если треугольник АВС — равнобедренный, и желтый — если
равносторонний. Иначе зеленый.
Здесь предложена удобная форма фиксации результата – три теста, точнее, один тест из
трех заданий. Но задание несложно, и прохождение теста доступно всем школьникам с 5-6
класса.
square_is_s.mkz
2(3). Светофор для трех машин - 3.
Задание:
На чертеже изображен момент получения подсказок. Ученик выбрал показ площади
треугольника, и геометрическую подсказку — пара прямых, параллельных основанию
треугольника, для которых и выполняется искомое условие — если вершина на такой
прямой, то площадь треугольника равна 50 кв.см.
Комментарий:
Исследуйте поведение светофора - как его цвет зависит от взаимного положения точек
A,B,C.
Полученный вывод проверяется тремя тестами — надо зажечь каждый цвет по требованию.
Здесь надо изучить поведение точек, построить наиболее правдоподобную гипотезу, и
пройти все три теста как результат работы.
Решение:
Светофор красный, если площадь треугольника АВС меньше 50 кв.см. , желтый —
если точно 50 кв.см. , и зеленый — если больше 50 кв.см .
Если работа проводится на планшете или компьютере, то для тонкой манипулятивной
работы можно использовать стрелки «вправо-влево» и «вверх-вниз». Это медленнее, но
точность манипуляции выше, чем у мышки или сенсорного экрана. На смартфоне это тоже
возможно, но сложнее.
dance1.mkz
3(1). Верните танцоров в свои группы!
Задание:
Каждая пара танцует один из двух танцев. Некоторые пары не танцуют. Двигая
кавалеров (они в синем), соберите их в две группы ("комнаты") так, чтобы танцующие один и
тот же танец оказались рядом. Для нетанцующих пар есть третья комната.
Иначе говоря, двигая синие и красные фигурки за желтые точки, разложите их в три кучки
согласно тому, по какому правилу красная фигурка связана с соответствующей синей.
На иллюстрации фигурки уже рассортированы по коробкам. Решение верное, а при
получении верного решения немедленно появляется надпись “Танцы отсортированы!” на
месте надписи "Танцы перемешаны".
В заданиях этого типа нужно в результате работы с моделью собрать информацию,
достаточную для принятия решения о классификации алгоритма. Задаются два или больше
классов, в которые и надо поместить изучаемый алгоритм.
Комментарий:
Другой класс задач, где цель работы задана как классификация.
Преобразования, связывающие пары точек, здесь такие: осевая и центральная симметрия.
Эта задача легко модифицируется.
Решение:
На иллюстрации приведен момент завершения задания.
dance2.mkz
3(2). Верните танцоров в свои группы!
Задание:
Идет «Большой кукольный бал»! Смешались три группы танцоров. Танцуют парами,
ведущий в паре обозначен синим треугольничком под желтым кружочком. Двигая ведущих,
расставьте их вновь в три группы, внутри которых одинаковые правила танца.
На иллюстрации приведен начальный экран задания.
Комментарий:
Это более сложное задание. Тут перемешаны пары точек с тремя алгоритмами
поведения.
Причем эти алгоритмы тоже даны в двух вариантах – простом и сложном. Различимость
алгоритмов соответственно разная.
Лучше выполнять это задание после первого.
Преобразования, связывающие пары точек, здесь такие: осевая и центральная симметрия.
Эта задача легко модифицируется.
Решение:
На иллюстрации приведен момент завершения задания.
kapriz1.mkz
4(1). Капризный параллелограмм.
Задание:
«Перемещая вершины параллелограммов, совместите фигуры! При этом остальные
вершины движутся по неизвестному закону».
Подсказки показаны на скриншоте в момент начала выполнения задания. Вторая подсказка
делает видимой скрытую часть конструкции параллелограммов, что помогает легко
справится с заданием.
На экране - два многоугольника. При перемещении некоторых вершин или сторон они
изменяются по неизвестному закону. Нужно совместить многоугольники.
Комментарий:
Неожиданно сложная задача. Важно заинтересовать учащихся самостоятельным
решением, без использования подсказок. Но и при подсказках для многих она может
остаться непростой. Подсказка на иллюстрации хорошо видна, но мы приведем ее особо.
Она показывает, что параллелограмм строится по треугольнику, который выделен
(здесь - желтым). Так как треугольники по-разному расположены на чертеже, то и их
поведение в зависимости от перемещения “одинаковых” точек (т.е. без учета подсказки)
будет различно.
.
kapriz2.mkz
4(2). Капризные четырехугольники.
Задание:
Это задание устроено точно так же, как и первое, но исходные фигуры –
прямоугольники, которые при большинстве движений превращаются в параллелограмм и
четырехугольник с той же диагональю, что и у параллелограмма. Конечно, надо попытаться
выполнить его сначала без советов и подсказок.
Комментарий:
Совет и подсказка даны на иллюстрации. Тот, кто уже прошел диагонали
четырехугольников, сразу увидит, или заметит после немногих манипуляций, что диагонали
четырехугольников равны.
Более внимательное наблюдение показывает, что три вершины левого параллелограмма
свободны, а вот вершины правого четырехугольника зависят от них, точнее, от диагонали
первого параллелограмма. Уловив эту несложную зависимость, легко решить задачу. Но
если никак не получается ею управлять, можно получить подсказку, и задача легко будет
решена.
Подсказка показывает, что и параллелограмм и четырехугольник строятся по
треугольникам, которые выделен красным. Выделены синим и равные по построению
диагонали. Так как эти треугольники по-разному расположены на чертеже, то и поведение
фигур в зависимости от перемещения “одинаковых” точек (т.е. без учета подсказки) будет
различно.
Для упрощения решения можно выравнивать диагонали, то есть превращать
параллелограмм в прямоугольник. Тогда условие равенства диагонали в двух фигурах будет
выполнено, и наложение упростится! И всегда остается способ "наложения треугольников",
которые скрыты, но видны при подсказке. То есть самый простой путь решить задачу –
развернуть фигуры так, чтобы вершины, соответствующие по построению, оказались рядом.
Тогда их легко совместить.
kapriz3.mkz
4(3). Капризные треугольники.
Задание:
На экране - два треугольника. При перемещении некоторых вершин или сторон они
изменяются по неизвестному закону. Нужно совместить треугольники.
Это задание устроено точно так же, как и первое, но исходные фигуры – треугольники.
Конечно, надо попытаться выполнить его сначала без советов и подсказок.
Комментарий:
Совет и подсказка даны на иллюстрации. Тот, кто уже прошел высоты треугольников,
сразу увидит, или заметит после немногих манипуляций, что высоты треугольников равны.
Более внимательное наблюдение показывает, что вершины левого треугольника свободны, а
вот вершины правого все зависят от них, точнее, от высоты первого треугольника. Уловив эту
несложную зависимость, легко решить задачу.
Решение:
Для этой задачи возможно два решения. Покажем их на чертеже «с подсказкой».
То есть высоты опущены или из совмещенных вершин, или из соседних вершин.
Получается ровно два пути решения в зависимости от того, какие вершины мы решим
совмещать! Легко видеть, что других вариантов нет. Интересно, что при отсутствии
подсказки эти решения одинаковой сложности, а при наличии подсказки первое гораздо
проще!
Netsquare.mkz
5(1).Расправь платок!.
Задание :
На экране- три "платка", натянутые на шарнирные стержни. Стержни можно
поворачивать за вершины. Нужно так повернуть их, чтобы площади всех трех платков стали
максимальны! При достижении всех трех максимумов загорится надпись "Победа!"
Комментарий:
Задание несложное, но представляет новый для школьников класс оптимизационных
задач, практическое значение которых трудно переоценить.
Решение:
На иллюстрации изображен момент окончательного решения. Горит надпись
«Победа!», когда все три площади максимальны. При этом они оказываются равными — так
подобраны параметры чертежа.
Если работа проводится на планшете или компьютере, то для тонкой манипулятивной
работы можно использовать стрелки «вправо-влево» и «вверх-вниз». Это медленнее, но
точность манипуляции выше, чем у мышки или сенсорного экрана. На смартфоне это тоже
возможно, но сложнее.
Catchpoint.mkz
6(1).Поймай точку.
Задание:
На иллюстрации мы видим момент поиска решения при использовании всех подсказок, в том
числе при включенном следе точки-крестика, которая пока не попала в центр желтого
кружка.
Перемещая зеленые кружки, то есть точки А и В, поймайте красный крестик (точку) в
неподвижный желтый кружок!
Комментарий:
Здесь показан момент, когда подсказка высвечена. Но и с подсказкой работа не
так проста, хотя, кроме двух точек А и В, больше никаких объектов нет.
Эта задача может быть воспроизведена учащимися 7-9 класса (без автоматической
проверки совпадения точек). Для этого им достаточно, кроме владения программой на
минимальном уровне, овладеть техникой работы с кнопками “Спрятать-показать”. Доступно
для учащихся всех классов, но полезен для 7-9 классов, где важно понимание неочевидных
движений точек чертежа, связанных законами построения.
Решение:
Внутреннее построение спрятанной части чертежа состоит из окружностей, прямых и
отрезков. Решение при включенной подсказке несложно, но требует внимательности.
Если работа проводится на планшете или компьютере, то для тонкой манипулятивной
работы можно использовать стрелки «вправо-влево» и «вверх-вниз». Это медленнее, но
точность манипуляции выше, чем у мышки или сенсорного экрана. На смартфоне это тоже
возможно, но сложнее.
catchpoint2.mkz
6(2).Поймай точку.
На иллюстрации мы видим момент победы при использовании всех подсказок, в том числе
при включенном следе точки-крестика, которая попала в центр синего кружка.
Задание:
Перемещая желтые кружки, поймайте красный крестик (точку) в неподвижный синий кружок!
Комментарий:
Здесь показан момент, когда подсказка высвечена. Но и с подсказкой работа не
так проста, хотя, кроме трех окружностей и их центров, больше никаких объектов нет.
Эта задача может быть легко воспроизведена учащимися 7-9 класса (без автоматической
проверки совпадения точек). Для этого им достаточно, кроме владения программой на
минимальном уровне, овладеть техникой работы с кнопками “Спрятать-показать”.
Решение:
Внутреннее построение спрятанной части чертежа состоит из окружностей и радиусов.
Оно полностью высвечивается при включенной подсказке, и тогда решение несложно, хотя
требует внимательности. Достаточно «пошевелить» каждую доступную точку, и динамика
всего чертежа проясняется.
Если работа проводится на планшете или компьютере, то для тонкой манипулятивной
работы можно использовать стрелки «вправо-влево» и «вверх-вниз». Это медленнее, но
точность манипуляции выше, чем у мышки или сенсорного экрана. На смартфоне это тоже
возможно, но сложнее.
greece.mkz
7(1). Греческий орнамент.
Задание:
Меняя положение зеркал (красные отрезки) и линейки сдвига (зеленые), восстановите
орнамент по образцу!
На иллюстрации отражен исходный момент работы с заданием. Оно сформулировано
так: «Надо восстановить по образцу популярный «греческий» бордюр, используя четыре
инструмента, заданных отрезками». Бордюр дан сверху, в уменьшенном масштабе.
Это задание на использование симметрий и сдвигов элементов греческого бордюра.
Надо восстановить по образцу популярный бордюр, используя два отражения и два сдвига,
заданных соответственно красными и зелеными отрезками.
Комментарий:
Такая работа с преобразованиями интуитивно понятна и младшим школьникам. Нужно
проанализировать образец, и увидеть в нем преобразованные исходные элементы, немного
модифицированные, но легко узнаваемые. Затем подобрать красными и зелеными
управляющими отрезками нужные преобразования, все время сравнивая получающиеся
фигуры с образцом, манипулируя зеркалами и сдвигами с помощью мыши или сенсорного
экрана. Знание теории приветствуется, но не предполагается, опора в построении на
интуитивное понимание законов симметрии на плоскости.
Решение:
Качество решения оценивается по визуальному совпадению получившегося бордюра
и образца. Но образец является «копией» некоторого решения этой же задачи, то есть
полное совпадение бордюра и образца возможно, хотя может быть непростым.
Если работа проводится на планшете или компьютере, то для тонкой манипулятивной
работы можно использовать стрелки «вправо-влево» и «вверх-вниз». Это медленнее, но
точность манипуляции выше, чем у мышки или сенсорного экрана. На смартфоне это тоже
возможно, но сложнее.
Border.mkz
7(2). Собери бордюр!
Задание:
На иллюстрации отражен исходный момент работы с заданием. Оно сформулировано
так: «Надо восстановить по образцу бордюр, используя три красных инструмента и три
желтые точки». Бордюр дан сверху.
Инструменты — это отрезок или точка, задающие преобразование. Это или центр
симметрии, или ось симметрии, или сдвиг.
Три желтые точки задают исходный элемент для преобразований - у-образную
фигуру («вилочку»). В свою очередь, пребразования «вилочек» (преобразования исходных
элементов) — два растяжения и поворот — заданы красными инструментами. Это два
сдвига и центральная симметрия.
Кнопка «ЕЩЁ!» показывает следующий лист задания. Он точно такой же, но , с другим
образцом.
Список образцов:
Комментарий:
Такая работа с преобразованиями интуитивно понятна и младшим школьникам. Нужно
проанализировать образец, и увидеть в нем преобразованные исходные элементы, немного
модифицированные, но легко узнаваемые. Затем подобрать красными управляющими
точками и отрезками нужные преобразования, все время сравнивая получающиеся фигуры с
образцом.
Решение:
Качество решения оценивается по визуальному совпадению получившегося бордюра
и образца. Но образец является «копией» некоторого решения этой же задачи, то есть
полное совпадение бордюра и образца возможно, хотя может быть непростым.
Если работа проводится на планшете или компьютере, то для тонкой манипулятивной
работы можно использовать стрелки «вправо-влево» и «вверх-вниз». Это медленнее, но
точность манипуляции выше, чем у мышки или сенсорного экрана. На смартфоне это тоже
возможно, но сложнее.
sixty.mkz
8(1). Верный глаз - 1
Задание:
На иллюстрации отражен исходный момент работы с заданием. Оно сформулировано
так: «Перемещая вершины треугольника А,В,С, сделайте его как можно более похожим на
равносторонний треугольник». Подсказка включена, и показаны три серединных
перпендикуляра к сторонам.
Комментарий:
Это задание на понимание свойств равностороннего треугольника. Подсказка
помогает понять, что его вершины лежат на этих серединных перпендикулярах.
Работа с заданием при включенной подсказке помогает увидеть (или почувствовать)
теорему о равностороннем треугольнике глубже, так как показывает поведение
соответствующих геометрических объектов в окрестности параметров точки совпадения, о
которой говорит теорема. То есть ход манипулятивного решения в данном случае неявно
дает информацию об устойчивости точки решения в пространстве управляемых параметров
чертежа.
Знание теории приветствуется, но не предполагается, опора в решении - на
интуитивное понимание законов симметрии на плоскости и симметричности правильного
треугольника.
Решение:
Теорема о равностороннем треугольнике подсказывает верный путь к решению.
Качество решения оценивается автоматически, по достижении некоторого уровня точности.
При успехе  “текущая точность” должна быть равна нулю (конечно, это округленное
значение). Это возможно, хотя может быть непростым. При успехе все резко позеленеет!
Важно учитывать требование, что треугольник не может быть маленьким. Это
требование связано с пиксельной структурой экрана — при маленьком треугольнике
точность решения не может быть высокой. Поэтому треугольник из соседних пикселей никак
не является точным решением! Реально эта граница равна примерно 1 см, но и дальше
проблема сказывается, так что проще получить решение при максимально большом
треугольнике.
Если работа проводится на планшете или компьютере, то для тонкой манипулятивной
работы можно использовать стрелки «вправо-влево» и «вверх-вниз». Это медленнее, но
точность манипуляции выше, чем у мышки или сенсорного экрана. На смартфоне это тоже
возможно, но сложнее.
sixpar1.mkz
8(2). Верный глаз - 2
Задание:
На иллюстрации отражен близкий к конечному момент работы с заданием. Оно
сформулировано так: «Перемещая вершины шестиугольника, добейтесь параллельности
противоположных сторон!». Подсказка включена, и показаны шесть серединных
перпендикуляра к шести сторонам.
Качество решения оценивается величиной ошибки 🜂, то есть отклонением от
идеального решения.
Комментарий:
Это задание на понимание свойств многоугольника. Подсказка помогает понять, что
для решения все серединные перпендикуляры параллельны, а ориентация на эту
параллельность облегчает подбор решения.
Решение:
Это тоже не очень сложная задача. Дело в том, что поиск лучшего решения здесь
можно вести поочередно для каждой пары сторон из трех пар, двигая одну точку за другой. В
подсказке точность для каждой пары противоположных сторон отображается по-
отдельности, и этот факт хорошо виден при движении любой вершины. Для следующей
задачи это не так.
Хотя без подсказки решение тоже может показаться непростым. Вот пример решения
при включенной подсказке:
Качество решения оценивается автоматически, по достижении некоторого уровня
точности. Текущая точность должна быть равна нулю (конечно, это округленное значение).
Это возможно, хотя может быть непростым.
Важно учитывать требование, что шестиугольник не может быть маленьким. Это
требование связано со пиксельной структурой экрана — при маленьком шестиугольнике
точность решения не может быть высокой. Шестиугольник из соседних пикселей обычно не
является точным решением !
Если работа проводится на планшете или компьютере, то для тонкой манипулятивной
работы можно использовать стрелки «вправо-влево» и «вверх-вниз». Это медленнее, но
точность манипуляции выше, чем у мышки или сенсорного экрана. На смартфоне это тоже
возможно, но сложнее.
sixpar3.mkz
8(3). Верный глаз - 3
Задание:
На иллюстрации отражен конечный момент работы с заданием. Оно сформулировано
так: «Перемещая вершины шестиугольника, добейтесь его правильности!». Подсказка
включена, и показаны шесть серединных перпендикуляра к шести сторонам, а также
окружность построенная на двух противоположных вершинах шестиугольного. Горит знак
«Победа!», когда.ошибка равна 0.
Качество решения оценивается величиной ошибки 🜂, то есть отклонением от
идеального решения. Конечно, ошибка округленная, и подобрана для возможности
манипулятивного решения.
Комментарий:
Это задание на понимание свойств многоугольника. Подсказка помогает понять, что
для решения все пары серединных перпендикуляров совпадает, а ориентация на это
совпадение облегчает подбор решения. Допустимая неточность видна на этих парах
перпендикуляров — они могут расходиться на 2-3 градуса, если остальные параметры
сбалансированы, ошибка 🜂 может быть округлена и до нуля.
Решение:
Конечно, самое простое решение — поделить окружность, данную при подсказке, на
шесть равных частей. Например, достроив еще четыре окружности вдоль этой данной.
Впрочем, и при трех уже решение легко достигается. Без подсказок решение получить
трудно!
Качество решения оценивается автоматически, по достижении некоторого уровня
точности. Текущая точность должна быть равна нулю (конечно, это округленное значение).
При решении загорается знак победы.
Важно учитывать требование, что шестиугольник не может быть маленьким.
Этот совет связан с пиксельной структурой экрана — при маленьком шестиугольнике
точность решения не может быть высокой.
Если работа проводится на планшете или компьютере, то для тонкой манипулятивной
работы можно использовать стрелки «вправо-влево» и «вверх-вниз». Это медленнее, но
точность манипуляции выше, чем у мышки или сенсорного экрана. На смартфоне это тоже
возможно, но сложнее.
impose1.mkz
9(1). Задачи на совмещение треугольников.
Задание:
На экране — момент решения самой простой задачи из шести задач в этой серии.
Мы видим два треугольника, у которых все три пары вершин уже совмещены. Можно
нажимать на кнопку → 1 , то есть переходить к первой задаче, немного сложнее. Кнопка
«Перегрузить» позволяет выйти из запутанной ситуации, когда треугольники потеряли
управляемость, например, какие-то вершины вышли за границы экрана.
Комментарий:
Эти задачи на совмещение - несложные! Устроены они так : спрятана часть
неизвестного построения, оставлены только шесть точек. Построение — циркулем и
линейкой, небольшое, хотя и непростое.
Как ведут себя спрятанные части при перемещении видимой точки, можно судить
только по оставшимся пяти! И на основании этой информации надо совместить
треугольники.
Приведем для примера один из самых простых полных чертежей, где жирные точки и
соединяющие их отрезки образуют видимые треугольники, а остальные точки и отрезки —
скрытые части чертежа. Видно, что все вершины треугольников, кроме одной, лежат на
отрезках или прямых, вдоль которых и могут двигаться. Только одна вершина свободна, и
связывает зависящую от нее вершину красного треугольника.
Решение:
Качество решения оценивается автоматически, по достижении некоторого уровня
точности. При решении загорается знак победы.
«Слишком маленькие» треугольники искусственно «пересчитываются», и ошибка , то
есть разность между идеальным и достигнутым решением увеличена так, что решение вида
«все в одну точку» становится невозможным.
Если работа проводится на планшете или компьютере, то для тонкой манипулятивной
работы можно использовать стрелки «вправо-влево» и «вверх-вниз». Это медленнее, но
точность манипуляции выше, чем у мышки или сенсорного экрана. На смартфоне это тоже
возможно, но сложнее.
impose2.mkz
9(2). Задачи на совмещение треугольников.
Задание:
Наложите треугольники друг на друга, совместив их вершины! Это одни из самых
известных школьникам слов Евклида. С помощью мысленного наложения с учетом
нескольких аксиом постепенно разворачивается целая наука о треугольниках. Но здесь
наложение — не мысленное, а смоделированное на компьютере. Аксиомы те же, но
треугольники не такие простые, нерастяжимые, несжимаемые и несгибаемые.
Комментарий:
Эти задачи на совмещение - довольно сложные! Но устроены они точно так же:
спрятана часть неизвестного построения, оставлены только шесть точек. Построение —
циркулем и линейкой, небольшое, хотя и непростое.
Как ведут себя спрятанные части при перемещении видимой точки, можно судить
только по оставшимся пяти! И на основании этой информации надо совместить
треугольники.
Решение:
На экране — момент решения задачи №2 из шести задач в этой серии. Мы видим два
треугольника, у которых две пары вершин уже совмещены. О количестве совмещенных пар
вершин сигнализирует и появляющийся при совмещении зеленый сегмент. Но до решения
может быть еще далеко… В данной задаче оно рядом! Одно верное движение вершины — и
треугольники совместятся полностью!
При этом сигнальный сегмент займет все поле чертежа, и весь чертеж «позеленеет».
Можно нажимать на кнопку → 2 , то есть переходить ко второй задаче. Кнопка «Вернуть»
позволяет выйти из запутанной ситуации, когда треугольники потеряли управляемость,
например, какие-то вершины вышли за границы экрана.
Качество решения оценивается автоматически, по достижении некоторого уровня
точности. При решении загорается знак победы.
Важно учитывать требование, что треугольники не могут быть маленькими. Это
требование связано со пиксельной структурой экрана — при маленьком треугольнике
точность решения не может быть высокой. Два треугольника из соседних пикселей,
формально говоря, является точным решением!
Чтобы избежать такой манипуляции с точностью, маленькие треугольники
искусственно «пересчитываются», и ошибка , то есть разность между идеальным и
достигнутым решением увеличена так, что решение становится невозможным.
Если работа проводится на планшете или компьютере, то для тонкой манипулятивной
работы можно использовать стрелки «вправо-влево» и «вверх-вниз». Это медленнее, но
точность манипуляции выше, чем у мышки или сенсорного экрана. На смартфоне это тоже
возможно, но сложнее.
ornam1.mkz
10(1). Повтори орнамент!
Задание:
На иллюстрации отражены исходный и промежуточный моменты работы с
заданием.Задание сформулировано так: «По этому образцу надо получить чертеж, точно
такой же по форме, но немного больше по размеру! Воспользуйтесь зеленой клавишей и
четырьмя точками -вершинами углового красного четырехугольника». Образец дан на
видимом экране, а работа происходит на другой, невидимой части экрана, куда мы
попадаем, нажав на зеленую кнопку справа.
Панель с номерами листов «1 2 3 4 5» позволяет перейти к новому заданию или
вернуться к начатому.
Комментарий:
Такая работа с преобразованиями интуитивно понятна и младшим школьникам. Нужно
проанализировать образец, и увидеть в нем преобразованный исходные элемент (квадрат).
В этом, вводном, задании итоговый орнамент не содержит других пересечений элементов,
кроме, возможно, нескольких точек. Нет и самопересечений в исходном элементе орнамента.
Решение:
Надо подобрать с помощью желтых точек нужную форму орнамента, все время
сравнивая получающиеся фигуры с образцом (нажатием зеленой кнопки).
Качество решения оценивается по визуальному совпадению получившегося орнамента и
образца. Но образец является «копией» некоторого решения этой же задачи, то есть полное
совпадение орнамента и образца возможно, хотя может быть непростым.
Если работа проводится на планшете или компьютере, то для тонкой манипулятивной
работы можно использовать стрелки «вправо-влево» и «вверх-вниз». Это медленнее, но
точность манипуляции выше, чем у мышки или сенсорного экрана. На смартфоне это тоже
возможно, но сложнее.
ornam2.mkz
10(2). Повтори орнамент!
Задание:
На иллюстрации отражены исходный и промежуточный моменты работы с заданием.
Задание сформулировано так: «По этому образцу надо получить чертеж, точно такой же по
форме, но немного больше по размеру! Воспользуйтесь зеленой клавишей и четырьмя
точками -вершинами углового красного четырехугольника». Образец дан на видимом
экране, а работа происходит на другой, невидимой части экрана, куда мы попадаем, нажав
на зеленую кнопку справа.
Панель с номерами листов «1 2 3 4 5» позволяет перейти к новому заданию или
вернуться к начатому.
Комментарий:
Это задание значительно сложнее первого. Нужно проанализировать образец, и
увидеть в нем преобразованный исходные элемент (квадрат). Из-за множества
пересечений это сделать непросто! Исходный элемент тоже может быть с
самопересечениями.
Решение:
Надо подобрать с четырех помощью желтых точек нужную форму орнамента, все
время сравнивая получающиеся фигуры с образцом (нажатием зеленой кнопки).
Качество решения оценивается по визуальному совпадению получившегося орнамента и
образца. Но образец является «копией» некоторого решения этой же задачи, то есть полное
совпадение орнамента и образца возможно, хотя может быть непростым.
Вот пример более сложного задания из набора, и результата решения. Масштаб их
разный, поэтому ориентироваться придется только на форму и относительные размеры.
Если работа проводится на планшете или компьютере, то для тонкой манипулятивной
работы можно использовать стрелки «вправо-влево» и «вверх-вниз». Это медленнее, но
точность манипуляции выше, чем у мышки или сенсорного экрана. На смартфоне это тоже
возможно, но сложнее.